Лабораторна робота №17
ДОСЛІДЖЕННЯ КОЛИВАНЬ СТРУНИ
Мета роботи
Вивчити явище утворення стоячих хвиль у струні, знайти частоти власних коливань та швидкість поширення хвиль у струні при фіксованій силі натягу.
Прилади та обладнання
Звуковий ґенератор, віброперетворювач, струна, нерухомий блок, масштабна лінійка, тягарці.
Опис вимірювального пристрою
Об(єктом дослідження є вертикальна натягнена струна (1), у якій можуть виникати стоячі хвилі (рис.1). Її нижній кінець прикріплений до вібратора віброперетворювача (2). Це пристрій, що перетворює електричні коливання, створені звуковим ґенератором (5), у механічні коливання тієї ж частоти і збуджує вимушені коливання струни. Верхній кінець струни перекинуто через нерухомий блок (3) і
навантажено основним тягарцем (4). Накладаючи на тягарець (4) додаткові тягарці, можна змінювати силу натягу струни. Довжина L частини струни, яка здійснює механічні коливання, дорівнює віддалі між нижньою точкою закріплення та точкою дотику струни до блоку, і надалі буде вважатися довжиною струни. Частоту (у звуковому діапазоні) і амплітуду коливань вихідного сигналу звукового ґенератора можна регулювати за допомогою відповідних ручок на його передній панелі. Координати вузлів та пучностей стоячої хвилі, а також її довжину визначають масштабною лінійкою (6).
Виведення розрахункових формул
Збуджені вібратором поперечні коливання струни поширюються до верхньої точки закріплення струни. Тут хвиля відбивається і рухається у зворотньому напрямі. В результаті у струні виникають стоячі хвилі. При цьому точки закріплення струни є одночасно вузлами стоячої хвилі, оскільки стоячі хвилі виникають тільки при таких частотах, коли на довжині струни L вкладається ціле число півхвиль, тобто ціле число довжин стоячої хвилі.
Звідси випливає, що
або , (1)
де n = 1, 2, 3 ...
Відповідні власні частоти коливань струни зв(язані з довжиною хвилі співвідношенням:
νn , (2)
де u ( швидкість поширення хвиль у струні, однакова для всіх частот.
Найнижча частота ν1 називається основним тоном коливань або першою гармонікою. Всі вищі частоти, кратні до ν1, називаються обертонами, наприклад: подвоєна частота ν2 = 2ν1– це перший обертон або друга гармоніка і т.д.
Вигляд струни у випадку спостереження основного тону та першого і другого обертонів подано на рис.2.
Швидкість поширення поперечних хвиль у струні залежить від сили натягу струни:
= = = . (3)
де F = mтg ( сила натягу струни (mт – маса тягарця),
– густина матеріалу струни (m – маса струни, V – її об’єм ),
S ( площа поперечного перерізу струни, L – довжина струни.
Позначивши ( маса одиниці довжини струни, або лінійна густина струни, одержимо:
. (4)
Враховуючи (4), для частот коливань струни отримаємо вираз:
νn , (5)
де n = 1, 2, 3 ...
Виберемо за початок відліку одну із точок закріплення струни і вісь х спрямуємо вздовж струни. Тоді рівняння стоячої хвилі, що виникає у струні при частоті νn , запишемо у вигляді:
n = 2A sin k(L-x) cos(kL - t) = Acт cos(n – ωt), (6)
де n ( поперечне відхилення точки струни з координатою x у момент
часу t;
( хвильове число;
Acт= 2A|sin (L-x)|- амплітуда стоячої хвилі
З умови (L-xп) = (2m+1)π знаходимо координати пучностей (Аст=2А) стоячої хвилі: xn=(n-(m+)( . (7)
З умови (L-xв) = mπ знаходимо координати
вузлів( Аст =0) стоячої хвилі: xв = (n – m) (8)
В таблиці наведені координати пучностей xn і вузлів xв для основного тону (n=1) і вищих гармонік (n=2,3).
n
m
xn
xв
1
0
1 ∕2 L
L
1
0
2
0
3∕4 L
1∕4 L
L
1
1...